Python 編程實現 1 加到 n 的分數

本文將從多個方面詳細闡述如何用 Python 編程實現 1 加到 n 的分數。

一、逐次運算

最樸素的方法是利用循環逐次加上每一個分數，然后返回總和。代碼如下：

def sumOfFraction1(n):
    res = 0
    for i in range(1, n+1):
        res += 1 / i
    return res

這個算法的時間復雜度為 O(n)，顯然不是最優解。

二、數學方法

通過對數學公式的研究，可以得到更為簡潔的解法。代碼如下：

def sumOfFraction2(n):
    res = 0
    for i in range(1, n+1):
        res += fractions.Fraction(1, i)
    return res

這個算法的時間復雜度為 O(n)，但是得益于 Python 內置的分數類型，可以保證精度不會出錯。

三、分治法

可以利用分治法，將序列拆分成兩個子序列，遞歸求解，然后將子序列的結果合并。代碼如下：

def sumOfFraction3(start, end):
    if start == end:
        return fractions.Fraction(1, start)
    mid = (start + end) // 2
    return sumOfFraction3(start, mid) + sumOfFraction3(mid+1, end)

這個算法的實現基于遞歸，時間復雜度為 O(log n)。

四、生成器解法

可以利用生成器，依次生成每個分數并讓其累加。代碼如下：

def fractions():
    i = 1
    while True:
        yield fractions.Fraction(1, i)
        i += 1

def sumOfFraction4(n):
    res = 0
    for i, f in enumerate(fractions()):
        res += f
        if i == n - 1:
            return res

這個算法的實現基于生成器，掃描整個序列僅需 O(n) 的時間。

五、總結

本文介紹了四種不同的解法，包括逐次運算、數學方法、分治法和生成器解法。每種解法都有其優缺點，開發者可以根據實際需求進行選擇。